群论基础
等价关系
等价关系是讨论的基础，其定义为：
设$A$是一个集合，$\sim$是$A\times A$上的一个二元关系，如果$\sim$满足下列三个条件：
- 自反性：对于任意的$a\in A$，有$a\sim a$；
- 对称性：对于任意的$a,b\in A$，如果$a\sim b$，则$b\sim a$；
- 传递性：对于任意的$a,b,c\in A$，如果$a\sim b$，$b\sim c$，则$a\sim c$。 则称$\sim$是$A$上的一个等价关系，$A$称为$\sim$的定义域，$a\sim b$称为$a$和$b$等价。
借助等价关系，我们可以定义等价类：
设$\sim$是$A$上的一个等价关系，$a\in A$，则$a$的等价类为${x\in A\mid x\sim a}$，记为$[a]$。
等价类$[a]$可以用$a$来表征，则等价类的集合即${[a]\mid a\in A}$，记为$A/\sim$。一个重要的定理告诉我们等价关系可以刻画集合的划分：
设$\sim$是$A$上的一个等价关系，$a,b\in A$，则下列命题等价：
- $a\sim b$；
- $[a]=[b]$；
同时，对于对于等价类集合${[a]\mid a\in A}$，有$\bigcup_{a\in A}[a]=A$，且对于任意的$a,b\in A$，有$[a]\cap[b]\neq\emptyset$当且仅当$[a]=[b]$。 因此一个等价关系的不同等价类构成了对$A$的一个划分。反之，对于$A$的一个划分，我们可以定义一个等价关系，使得这个划分就是等价类集合。
举个例子，我们可以用等价关系来刻画整数的奇偶性。设$\sim$是整数集上的一个等价关系，定义为$a\sim b$当且仅当$a-b$是偶数，则$\sim$是整数集上的一个等价关系。此时，$[0]$是偶数集，$[1]$是奇数集，$[2]$是偶数集，$[3]$是奇数集，以此类推。
群
群是一种代数结构，其定义为：
群$\mathbf G$是一个具有四个要素$(G,\cdot,\mathbf I, \mathbf e)$的代数结构:
\[\begin{align} \forall a,b,c\in G, (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c) \end{align}\]
- $G$是一个集合。
- $\cdot$是$G\times G$上的一个二元运算，称为群乘法。其满足$G\times G\rightarrow G$，即对于任意的$a,b\in G$，有$a\cdot b\in G$。
- $\mathbf I$是$G$上的一个一元运算，称为群逆运算。其满足$G\rightarrow G$，即对于任意的$a\in G$，有$\mathbf I(a)\in G$。
- $\mathbf e$是$G$上的一个元素，称为群单位元。其满足$\mathbf e\in G$。 群乘法需要满足结合代数：
单位元和逆元满足：
\[\begin{align} \forall a\in G, a\cdot\mathbf e=\mathbf e\cdot a=a \end{align}\]
\[\begin{align} \forall a\in G, a\cdot\mathbf I(a)=\mathbf I(a)\cdot a=\mathbf e \end{align}\]
一般我们也把逆元简记为$a^{-1}$。同时简记单位元为$\mathbf 1$。
易于定义子群$\mathbf H$，即为满足$H\subseteq G$，且$(H,\cdot,\mathbf I, \mathbf e)$也是一个群。此时，我们称$\mathbf H$是$\mathbf G$的一个子群。
此外还需要定义群的阶：
设$\mathbf G$是一个群，$G$是其集合，定义$G$的元素个数为群$\mathbf G$的阶，记为$\mid \mathbf G\mid $。
对于群乘法，如果有$a\cdot b=b\cdot a$，则称$a$与$b$对易(commutative)。如果群$\mathbf G$的所有元素都对易，则称$\mathbf G$是阿贝尔群(Abelian group)。
群的中心(center of group)是一个群$\mathbf G$的子集，其定义为：
设$\mathbf G$是一个群，$Z(\mathbf G)={a\in G\mid \forall b\in G, a\cdot b=b\cdot a}$。
显然中心群是一个阿贝尔群。对于循环群$\mathbb Z_N$，其中心群为自身。而对于
循环群、一般线性群和函数群
$N$的同余等价类的集合（加上加减法），也称为$N$阶循环群，记为$\mathbb Z/N\mathbb Z$或者$\mathbb Z_N$。其定义为：
在整数环$\mathbb Z$上定义等价关系$\sim$，$a\sim b$当且仅当$a-b$是$N$的倍数。
由前易知，总共有$N$个等价类，分别为$[0],[1],\cdots,[N-1]$。对于剩余等价类，我们改记为$\bar 0,\bar 1\cdots,\overline{N-1}$。这个群的单位元为$\bar 0$，群乘法为$\bar a\cdot\bar b=\overline{a+b}$，群逆运算为$\mathbf I(\bar a)=\overline{-a}$。这个群的阶为$N$。并且显然是一个阿贝尔群。
一般线性群(General Linear Group)定义为：
设$V$是一个$n$维向量空间，$GL(V)$是$V$上的可逆线性变换的集合。定义$GL(V)$上的运算为线性变换的复合，则$(GL(V),\circ)$是一个群，称为$V$的一般线性群。
从矩阵的角度也可以定义为：
建立一个数域$\kappa$，可以为$\mathbb R$或者$\mathbb C$。在这个数域上定义$n$阶可逆矩阵的集合为$GL(n,\kappa)$，定义矩阵的乘法为群乘法，则$(GL(n,\kappa),\cdot)$是一个群，称为$n$阶一般线性群。
一般线性群具有几个重要的子群：
- 特殊线性群(Special Linear Group)：$SL(n,\kappa)={A\in GL(n,\kappa)\mid \det(A)=1}$。
- 正交群(Orthogonal Group)：$O(n)={A\in GL(n,\mathbb R)\mid A^TA=I}$。
- 特殊正交群(Special Orthogonal Group)：$SO(n)={A\in O(n)\mid \det(A)=1}$。
- 酉群(Unitary Group)：$U(n)={A\in GL(n,\mathbb C)\mid A^\dagger A=I}$。
- 特殊酉群(Special Unitary Group)：$SU(n)={A\in U(n)\mid \det(A)=1}$。
- 辛群(Symplectic Group)：$Sp(2n)={A\in GL(2n,\mathbb R)\mid A^TJA=J}$，其中$J=\begin{bmatrix}0&I\-I&0\end{bmatrix}$。
函数群(Function Group)是一个群，其定义为：
设$X$是一个集合，$G$是一个群，则函数群为$\mathcal F={f\mid f:X\rightarrow G}$。
这个定义暂时还是残缺的，我们只是定义了函数的集合。通过发现这个集合可以定义自洽的群乘法，可以完善这个群的定义。即其需要满足$\mathcal F\times\mathcal F\rightarrow \mathcal F$。定义为$\mathbf m_f(f_1,f_2)(x)=\mathbf m_G(f_1(x),f_2(x))$，其中$\mathbf m_G$是$G$上的群乘法，由于$G$是一个群，从而满足了封闭性要求。同时，我们可以定义函数的逆运算为$\mathbf I_f(f)(x)=\mathbf I_G(f(x))$，其中$\mathbf I_G$是$G$上的逆运算。同时，我们可以定义函数的单位元为$\mathbf e_f(x)=\mathbf e_G$，其中$\mathbf e_G$是$G$上的单位元。这样，我们就定义了函数群。 具体看一个函数群的例子：
设$X$为一个正维流形，而$G$为一个经典的矩阵群，则描述其映射的函数群（的连续可微的子群）则为Yang-Mills理论的规范群。
这个定义颇为抽象，如果我们考虑$X$为四维Minkowski空间，$G$为$\mathrm U(1)$，即其群元为：
\[\begin{align} f:x\rightarrow e^{i\theta(x)} \end{align}\]这个群元即代表了Maxwell电磁场中的一个规范变换，注意到：
\[\begin{align} f^{-1}(A_\mu-i\partial_\mu)f=A_\mu+\partial_\mu\theta-i\partial_\mu=A'_\mu-i\partial_\mu \end{align}\]这是磁矢势的规范变换的更为严谨的表示。可以敏锐看出：物理上这正是$\pi=p-qA$在坐标空间中规范协变的体现。这种视角的好处是我们可以选取不同的正维流形$X$和不同的矩阵群$G$，从而得到不同的规范场理论。比如非阿贝尔规范场理论，即$G$为$SU(N)$，$X$为四维Minkowski空间。