群表示论
群表示的概念
群表示的目的是用矩阵表示抽象的群的概念。
【定义】设G是一个抽象群，若存在一个同态映射
\[\begin{align} \rho:\mathbb{G}\rightarrow GL(\mathbb{V}) \end{align}\]| 则称${\rho(a) | \forall a\in\mathbb{G} }\in GL(\mathbb{V})$为群G的一个线性表示，若映射是单射的，则称为忠实表示。这个向量空间被称为表示空间，向量空间的维数被称为表示的维数。 |
不难证明的是：
\[\begin{align} a\rightarrow \rho(a)\rightarrow D(a),b\rightarrow \rho(b)\rightarrow D(b)\\ D(ab)=D(a)D(b),D(a^{-1})=D(a)^{-1},D(e)=E \end{align}\]可约表示和完全可约表示
可约表示的目的是选取合适的基，使得矩阵的形式尽可能简单。
【定义】V的一个子空间V’，如果：
\[\begin{align} \forall a\in\mathbb{G},\rho(a)\mathbb{V}'\subset\mathbb{V}' \end{align}\]则称此时的群表示为一个可约表示。
套用之前不变子空间里的讨论，我们立即知道可约表示空间总可以写成不变子空间和相异空间的和。而当且仅当补空间为不变子空间时，为直和补。更普遍地写为：
\[\begin{align} \mathbb{V}=\sum_{i=1}^n\oplus\mathbb{V}_i,\mathbb{V}_i~is~invariant\\ \rho=\sum_{i=1}^n\oplus\rho_i,\rho_i=\rho|_{\mathbb{V}_i}\\ D(a)=\sum_{i=1}^n\oplus D_i(a),D_i(a)=\rho(a)|_{\mathbb{V}_i} \end{align}\]如果上述分解完成，则称为完全可约表示（既约表示） 。
多说一句，从矩阵的角度理解，不变子空间对应Jordan块。因此可约表示含多个完整不变子空间，其矩阵就含有多个Jordan块对应区块。既约表示反之。
酉表示
【定理5.1】有限群G的任意表示$\rho$都可以看成是酉表示。
proof:
\[\begin{align} def~<v_1,v_2>_{\rho}=\sum_{\forall a\in\mathbb{G}}<\rho(a)v_1,\rho(a)v_2>\\ \because <\rho(b)v_1,\rho(b)v_2>_{\rho}=\sum_{\forall a\in\mathbb{G}}<\rho(a)\rho(b)v_1,\rho(a)\rho(b)v_2>\\ =\sum_{\forall a\in\mathbb{G}}<\rho(ab)v_1,\rho(ab)v_2>,b\in\mathbb{G}\\ =<v_1,v_2>_{\rho} \end{align}\]这里前提是求和是有限维度的。所以命题得证。
矩阵的张量积与张量积空间中的变换
张量积的定义为：
\[\begin{align} A\in GL(n,\mathbb{C}),B\in GL(m,\mathbb{C})\\ A\otimes B=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1m}\\ b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2m}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ b_{m1}&b_{m2}&\cdots&b_{mm}\end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix}a_{11}B&a_{12}B&\cdots&a_{1n}B\\ a_{21}B&a_{22}B&\cdots&a_{2n}B\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}B&a_{n2}B&\cdots&a_{nn}B\end{pmatrix} \end{align}\]张量积具有如下关系：
\[\begin{align} (1)A\otimes(B\otimes C)=(A\otimes B)\otimes C\\ (2)A\otimes(B+C)=A\otimes B+A\otimes C\\ (3)(A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}\\ (4)tr(A\otimes B)=tr(A)\cdot tr(B)\\ (5)(A_1\otimes B_1)(A_2\otimes B_2)=(A_1A_2)\otimes(B_1B_2) \end{align}\]张量积空间：两个向量空间张量积定义为：
\[\begin{align} v_i~is~the~basis~of~\mathbb{V}_{n\times n},u_i~is~the~basis~of~\mathbb{U}_{m\times m}\\ then~the~basis~of~\mathbb{V}\times\mathbb{U}~is~v_i\otimes u_i\\ v_i\otimes u_i={v_iu_j } \end{align}\]表示的张量积：同态映射$\rho$在${v_i\otimes u_j }$中的表示矩阵为原矩阵的向量积。
群表示论中的一些重要定理
Schur引理
如果矩阵A与群G的一个n维既约酉矩阵表示D中的每一个矩阵均可对易。则A一定是一个单位矩阵的常数倍。
proof:
\[\begin{align} \because D(a)A=AD(a)\therefore D(a^{-1})A=AD(a^{-1})\\ \therefore A^{\dagger}D^{\dagger}(a^{-1})=D^{\dagger}(a^{-1})A^{\dagger}\because D^{\dagger}(a^{-1})=D(a)\\ \therefore A^{\dagger}D(a)=D(a)A^{\dagger}\\ def~H=A+A^{\dagger},then~D(a)H=HD(a)\\ \because H~is~hermite,\exists S,S^{\dagger}=S^{-1},\Lambda=S^{-1}HS \end{align}\]下证对角矩阵$\Lambda$为单位阵的倍数（特征值完全简并）：
\[\begin{align} \because D(a)H=HD(a)\therefore S^{-1}D(a)HS=S^{-1}HD(a)S\\ S^{-1}D(a)S\Lambda=\Lambda S^{-1}D(a)S\\ assume~\Lambda=\begin{pmatrix}aE_n&\\&bE_m\end{pmatrix},a\neq b\in\mathbb{K}\\ S^{-1}D(a)S=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\\ S^{-1}D(a)S\Lambda=\begin{pmatrix}aA&bB\\aC&bD\end{pmatrix},\Lambda S^{-1}D(a)S=\begin{pmatrix}aA&aB\\bC&bD\end{pmatrix}\\ \therefore B=0=C,coutradic~to~D~is~covenated(D=\begin{pmatrix}A&B\\&D\end{pmatrix})\\ \therefore a=b\\ the~same~,J=i(A+A^{\dagger})=dE\\ \therefore A=eE \end{align}\]【大Schur引理】设$D^{(1)}$和$D^{(2)}$分别为G的$l_{1}$和$l_{2}$维的两个不可约表示，若有$l_1\times l_2$阶矩阵M满足以下关系：
\[\begin{align} D^{(1)}(g)M=MD^{(2)}(g),\forall g\in\mathbb{G} \end{align}\]则有：当$l_1=l_2$时，$M=0$或$M\neq0,D^{(1)}\cong D^{(2)}$
当$l_1\neq l_2$时，$M=0$
proof:
\[\begin{align} Conjugate~the~equation\\ M^{\dagger}D^{(1)}(g^{-1})=D^{(2)}(g^{-1})M^{\dagger}\\ M^{\dagger}D^{(1)}(g^{-1})M=D^{(2)}(g^{-1})M^{\dagger}M,\because D^{(1)}(g^{-1})M=MD^{(2)}(g^{-1}) \\ \therefore M^{\dagger}MD^{(2)}(g^{-1})=D^{(2)}(g^{-1})M^{\dagger}M \end{align}\]由小Schur引理，得到：
\[\begin{align} M^{\dagger}M=\lambda E \end{align}\]分类讨论：
$l_1=l_2=n$
\[\begin{align} \lambda\neq0,\det M\neq0,D^{(1)}(g)=MD^{(2)}(g)M^{-1} \end{align}\]则两种表示等价。
\[\begin{align} \lambda =0,M=0 \end{align}\]$l_1\neq l_2$
\[\begin{align} def~l_1< l_2,M'=\begin{pmatrix}M\\0\end{pmatrix},M'^{\dagger}M'=M^{\dagger}M=\lambda E\\ \because \det M'=0\therefore \lambda=0\therefore \det M=0\therefore M=0 \end{align}\]这里略有跳步。
波函数和群
群的正交性定理
【定理】设$D^{(\alpha)}$和$D^{(\beta)}$分别为G的$l_{\alpha}$和$l_{\beta}$维的两个不可约表示，则有等式：
\[\begin{align} \sum_{g\in\mathbb{G}}D_{il}^{(\alpha)}(g)D_{jm}^{(\beta)^*}(g)=\frac{N}{l_{\alpha}}\delta_{\alpha\beta}\delta_{ij}\delta_{lm} \end{align}\]proof:
\[\begin{align} def~M=\frac{1}{N}\sum_{g\in\mathbb{G}}D^{(\alpha)}(g)XD^{(\beta)}(g^{-1})\\ D^{(\alpha)}(g_i)M=\frac{1}{N}D^{(\alpha)}(g_i)\sum_{g\in\mathbb{G}}D^{(\alpha)}(g)XD^{(\beta)}(g^{-1})\\ =\frac{1}{N}\sum_{g\in\mathbb{G}}D^{(\alpha)}(g_ig)XD^{(\beta)}(g^{-1})\\ =\frac{1}{N}\sum_{g\in\mathbb{G}}D^{(\alpha)}(g_ig)XD^{(\beta)}((g_ig)^{-1}g_i)\\ =\frac{1}{N}\sum_{g\in\mathbb{G}}D^{(\alpha)}(g_ig)XD^{(\beta)}((g_ig)^{-1})D^{(\alpha)}(g_i),\because g_ig\in\mathbb{G}\\ =MD^{(\beta)}(g_i) \end{align}\]由Schur引理就可知：
\[\begin{align} \alpha\neq\beta,M=0\\ \alpha =\beta, M=\lambda E \end{align}\]其余对指数不证。
波函数和群的表示
我们首先建立量子力学和群表示的关系。离散情况为矩阵运算，连续情况求和过渡到积分。
设$l_i$维空间中有一组完备本征态$\ket{\psi_n^{(i)}}$，则算符$\hat{B}$的矩阵表示为：
\[\begin{align} \hat{B}\ket{\phi_j^{(i)}}=\sum^n\ket{\psi_n^{(i)}}\bra{\psi_n^{(i)}}\hat{B}\ket{\psi_j^{(i)}}\\=\sum^n\bra{\psi_n^{(i)}}\hat{B}\ket{\psi_j^{(i)}}\ket{\psi_n^{(i)}}=\sum^n\hat{B}^{(i)}_{nj}\ket{\ket{\psi_n^{(i)}}} \end{align}\]因此，如果假定波函数组负载了群G的$l_i$维既约表述$\rho^{(i)}$的酉矩阵表示$D^{(i)}$，则有：
\[\begin{align} \rho^{(i)}(a)\psi_j^{(i)}=\sum_nD_{nj}^{(i)}(a)\psi_n^{(i)} \end{align}\]为了方便下面的定理的理解。所以假设有另一个$l_j$维空间，并具有另一组波函数来负载：
\[\begin{align} \rho^{(j)}(a)\phi_k^{(j)}=\sum_nD_{nk}^{(j)}(a)\phi_n^{(j)} \end{align}\]波函数的正交定理
【定理】在上述符号下，我们有：
\[\begin{align} \int{\psi_{\alpha}^{(i)*}\phi_{\beta}^{(j)}\mathrm d\tau}=\lambda\delta_{ij}\delta_{\alpha\beta} \end{align}\]proof:
\[\begin{align} def~B_{\alpha\beta}=\int{\psi_{\alpha}^{(i)*}\phi_{\beta}^{(j)}\mathrm d\tau}\\ BD^{(j)}(a)_{\alpha\zeta}=\sum_{\beta}B_{\alpha\beta}D^{(j)}(a)_{\beta\zeta}\\ =\sum_{\beta}\int{\psi_{\alpha}^{(i)*}\phi_{\beta}^{(j)}\\tau}D^{(j)}(a)_{\beta\zeta}\\ =\int{\psi_{\alpha}^{(i)*}(\sum_{\beta}D^{(j)}(a)_{\beta\zeta}\phi_{\beta}^{(j)})\mathrm d\tau}\\ =\int{\psi_{\alpha}^{(i)*}\rho^{(j)}(a)\phi_{\zeta} ^{(j)}\mathrm d\tau}\\ D^{(i)}(a)B_{\alpha\zeta}=\sum_{\beta}D^{(i)}(a)_{\alpha\beta}B_{\beta\zeta}=\sum_{\beta}D^{(i)}(a)_{\alpha\beta}\int{\psi_{\beta}^{(i)*}\phi_{\zeta}^{(j)}\mathrm d\tau}\\ =\int{(\sum_{\beta}{D^{(i)}(a)}_{\beta\alpha}\psi_{\beta}^{(i)})^*\phi_{\zeta}^{(j)}\mathrm d\tau}\\ =\int{\psi_{\beta}^{(i)*}\rho^{(i)}(a)\phi_{\zeta}^{(j)}\mathrm d\tau}\\ \because \rho^{(i)}(a)=\rho^{(j)}(a)\\ \therefore D^{(i)}(a)B=BD^{(j)}(a) \end{align}\]紧接着由群表示的正交定理即得。
这里我证明的简直依托答辩，但暂时不想改了。正确的思路是用算符表示，借助酉表示的线性运算证明。
有限群的表示的其他定理
- 群G的不等价既约表示个数等于群G中共轭类的个数m。这其实由上面正交定理可以看出，同一维数的空间下的表示一定互为共轭。共轭类等价于对更大空间的一个直和分解
- 设n是群G的阶，$l_i$是上述共轭类i的空间维数。有等式：
特征标
考察迹运算
\[\begin{align} \mathrm{tr}（AB）=\sum_{k=1}^{n}{\sum_{i=1}^{n}x_{ki}y_{ik}}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}{y_{ik}}{x_{ki}}=tr(BA) \end{align}\]这说明迹运算内的矩阵乘法是可交换的。我们立即得到迹的相似（共轭）不变性：
\[\begin{align} \mathrm{tr}（P^{-1}AP）=\mathrm{tr}(APP^{-1}) =\mathrm{tr}(A) \end{align}\]我们立即想到可以用这个对共轭的不变量来表征共轭类，以及更重要的既约表示。
【定义】群表示的迹定义为：
\[\begin{align} \chi(a_i)=\mathrm{tr} D(a_i),a_i\in\mathbb{G} \end{align}\]称之为群表示的特征标。如果是可约表示，称特征标是复合的。如果是既约表示，称之为单纯的。
单纯特征标的正交定理
n阶群G中，有：
\[\begin{align} \frac1n\sum_{g\in\mathbb{G}}\chi^{(i)}(g)\bar{\chi}^{(j)}(g)=\delta_{ij} \end{align}\]proof:
\[\begin{align} \sum_{g\in\mathbb{G}}D_{il}^{(\alpha)}(g)D_{jm}^{(\beta)^*}(g)=\frac{n}{l_{\alpha}}\delta_{\alpha\beta}\delta_{ij}\delta_{lm}\\ \sum_{g\in\mathbb{G}}D_{ii}^{(\alpha)}(g)D_{jj}^{(\beta)^*}(g)=\frac{n}{l_{\alpha}}\delta_{\alpha\beta}\delta_{ij}^2\\ \sum_{i}\sum_{g\in\mathbb{G}}D_{ii}^{(\alpha)}(g)D_{jj}^{(\beta)^*}(g)=\sum_{i}\frac{n}{l_{\alpha}}\delta_{\alpha\beta}\delta_{ij}^2\\ \sum_{g\in\mathbb{G}}\chi^{(\alpha)}(g)D_{jj}^{(\beta)^*}(g)=\sum_{i}\frac{n}{l_{\alpha}}\delta_{\alpha\beta}\delta_{ij}^2\\ \sum_{g\in\mathbb{G}}\chi^{(\alpha)}(g)\bar\chi^{(\beta)}(g)=\sum_{i,j}\frac{n}{l_{\alpha}}\delta_{\alpha\beta}\delta_{ij}^2=n\delta_{\alpha\beta}\\ \end{align}\]有了正交定理，我们就可以断言，区别既约表述的方法就是看特征标的区别。并且可以做出在5.3节的第一个分解，其中系数：
\[\begin{align} a_i=\frac1n\sum_{a\in\mathbb{G}}\chi(a)\bar\chi^{(i)}(a) \end{align}\]既约判据
如果一个表示是既约的，则其特征标具有性质：
\[\begin{align} \sum_{a\in\mathbb{G}}\bar\chi(a)\chi(a)=n \end{align}\]这是因为：
\[\begin{align} \sum_{a\in\mathbb{G}}\bar\chi(a)\chi(a)=n\sum_ia_i^2 \end{align}\]而如果为既约表示，则必定存在一个数j使得$a_i=\delta_{ij}$。
群的直积表示
由直积的定义快速得出
\[\begin{align} \chi_{1\otimes2}=\mathrm{tr} \rho_1\otimes\rho_2=\mathrm{tr} D_1\otimes D_2=\sum_iD_{1_{ii}}\sum_jD_{2_{jj}}=\chi_1\chi_2 \end{align}\]类似之前的，可以证明原群表示的既约表示集的直积就是直积表示的完备正交基。因此直积表示的相等和正交都由正交基决定。
正则表示
【定义】（左）正则表示定义为：
\[\begin{align} \sigma:g\rightarrow\sigma(g),st\\ \sigma(g)\sum_ia_ig_i=\sum_ia_igg_i \end{align}\]由于$gg_i\in\mathbb{G}$所以这个运算对群空间是封闭的。定义自然的加法和矩阵类的次序乘法后，这个表示就构成了群到群空间上的一个映射，称为（左）正则表示。
正则表示实际上就是以群空间为表示空间，群元作为算符的表示。这就是其特殊性。
考察其矩阵形式：
\[\begin{align} \sigma(g)g_k=gg_k=\sum_jD_{jk}(g)g_j\\ D_{jk}(g)=\left{ \begin{aligned} 1~~~g=g_jg_k^{-1}\\ 0~~~g\neq g_jg_k^{-1} \end{aligned} \right. \end{align}\]其特征标具有性质：
\[\begin{align} \chi(g)=\mathrm{tr} D(g)=\sum\delta_{g,e}=\left{ \begin{aligned} n~~~g=e\\ 0~~~g\neq e \end{aligned} \right. \end{align}\]共轭直和分解系数因此非常简单：
\[\begin{align} a_i=\frac1n\sum_{a\in\mathbb{G}}\chi(a)\bar\chi^{(i)}(a)=\frac1n\sum_{a\in\mathbb{G}}\chi(e)\bar\chi^{(i)}(e)=l_i \end{align}\]对5.3节中第二个定理的非常不严谨证明：
\[\begin{align} \sigma=\sum_i\oplus a_i\sigma_i,\chi=\sum_ia_i\chi_i=\sum_il_i^2=n \end{align}\]