李群和李代数
矩阵指数和李括号
矩阵指数的定义为：
设$A$是一个$n\times n$的矩阵，定义其指数为：
\[\begin{align} e^A=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}A^k \end{align}\]
可以直接推导出：
\[\begin{align} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}e^{tA}=Ae^{tA}=e^{tA}A\\ e^{\alpha A}e^{\beta A}=e^{(\alpha+\beta)A}\\ e^A e^B e^{-A} = \exp{(e^A B e^{-A})} \end{align}\]\[\begin{align} e^A e^B e^{-A} &= e^A (\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}B^k)e^{-A}\\ &=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}e^AB^ke^{-A}\\ &=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}e^{A}Be^{-A}e^{A}Be^{-A}\cdots e^{A}Be^{-A}\\ &=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}(e^{A}Be^{-A})^k\\ &=\exp{(e^A B e^{-A})} \end{align}\]
对于第三条公式，可以如下证明：
定义作用在矩阵上的线性变换：
\[\begin{align} \mathrm{Ad}(A):B\rightarrow [A,B]\\ \mathrm{Ad}^n(A):B\rightarrow [\underbrace{A,[A,\cdots[A}_{n\text{个}},B]\cdots]] \end{align}\]其中符号为对易关系，是狭义的李括号。李括号的定义为：
\[\begin{align} [A,B]=AB-BA \end{align}\]我们可以证明一个公式：
\[\begin{align} e^A B e^{-A}=e^{\mathrm{Ad}(A)}B \end{align}\]证明如下：
\[\begin{align} B(t)&=e^{tA}Be^{-tA}\\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}B(t)&=Ae^{tA}Be^{-tA}-e^{tA}BAe^{-tA}\\ &=[A,B]\\ &=\mathrm{Ad}(A)B(t)\\ \therefore B(t)&=e^{\mathrm{Ad}(A)t}B(0)\\ \therefore B(1)&=e^{\mathrm{Ad}(A)}B(0)\Rightarrow e^ABe^{-A}=e^{\mathrm{Ad}(A)}B \end{align}\]结合第三条公式即可得到：
\[\begin{align} e^A e^B e^{-A} = e^{\mathrm{Ad}(A)}e^B \end{align}\]Baker-Campbell-Hausdorff公式
Baker-Campbell-Hausdorff公式是一个重要的公式，其定义为：
定义一个函数：
\[\begin{align} \begin{aligned}g(w)=\frac{\log w}{w-1}=\sum_{j=0}^\infty\frac{(1-w)^j}{j+1}=1+\frac{1-w}2+\frac{(1-w)^2}3+\cdots\end{aligned} \end{align}\]
A,B是两个$n\times n$的矩阵。则$e^C=e^Ae^B$，其中$C=B+\int_0^1g(e^{t\mathrm{Ad}A}e^{\mathrm{Ad}B})(A)dt$。
证明之首先需要引理：
\[\begin{align} \left(\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t}e^{A(t)}\right)e^{-A(t)}=&-e^{A(t)}\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t}e^{-A(t)}=f(\mathrm{Ad}(A(t))\dot A(t)\\ f(z)&=\frac{e^z-1}{z}\\ \end{align}\]其证明如下：
\[\begin{align} def\quad B(s,t)&= e^{s A(t)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} e^{-s A(t)}\\ \frac{\partial}{\partial s}B(s,t)&=A(t)e^{s A(t)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} e^{-s A(t)}-e^{s A(t)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} [A(t)e^{-s A(t)}]\\ &=A(t)e^{s A(t)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} e^{-s A(t)}-e^{s A(t)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} e^{-s A(t)}A(t)-\dot A(t)\\ &=[A(t),B(s,t)]-\dot A(t)\\ &=\mathrm{Ad}(A(t))B(s,t)-\dot A(t)\\ \Rightarrow \frac{\partial^j}{\partial s^j}B(s,t)&=\mathrm{Ad}^j(A(t))B(s,t)-\mathrm{Ad}^{j-1}(A(t))\dot A(t)\\ \end{align}\]在$s=0$处展开$B(s,t)$，注意到$B(0,t)=0$，因此：
\[\begin{align} B(s,t)=-\sum_{j=1}^\infty\frac{s^j}{j!}\mathrm{Ad}^{j-1}(A(t))\dot A(t) \end{align}\]在$s=1$时：
\[\begin{align} B(1,t)=-\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{j!}\mathrm{Ad}^{j-1}(A(t))\dot A(t)\\ =-\sum_{j=0}^\infty\frac{1}{(j+1)!}\mathrm{Ad}^{j}(A(t))\dot A(t)\\ =-f(\mathrm{Ad}(A(t)))\dot A(t) \end{align}\]注意到：
\[\begin{align} \begin{aligned} \int_0^1e^{sA(t)}\dot{A}(t)e^{(1-s)A(t)}\mathrm ds &=\int_0^1e^{sAd(A(t))}\mathrm ds\dot{A}(t)e^{A(t)} \\ &=\left[\left(\frac{e^{Ad(A(t))}-1}{Ad(A(t))}\right)\dot{A}(t)\right]e^{A(t)}\\ &=f(\mathrm{Ad}(A(t)))\dot A(t)e^{A(t)}\\ &=\frac {\mathrm d}{\mathrm dt}e^{A(t)} \end{aligned} \end{align}\]为了证明BCH公式，引入矩阵函数：
\[\begin{align} e^{C(t)}=e^{tA}e^{B}\quad e^{-C(t)}=e^{-B}e^{-tA} \end{align}\]首先根据引理有：
\[\begin{align} e^{C(t)}\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}e^{-C(t)}=-f(\mathrm{Ad}(C(t)))\dot C(t) \end{align}\]带入$C(t)$的定义，有：
\[\begin{align} e^{C(t)}\frac{d}{dt}e^{-C(t)}=e^{tA}\frac{d}{dt}e^{-tA}=-A \end{align}\]因此：
\[\begin{align} f(\mathrm{Ad}(C(t)))\dot C(t)=A\\ \dot C(t)=f^{-1}(\mathrm{Ad}(C(t)))A \end{align}\]我们定义一个新函数$g(e^x)=f^{-1}(x)$，则：
\[\begin{align} g(x)=\frac{\log x}{x-1} \end{align}\]则：
\[\begin{align} \dot C(t)=g(\exp(\mathrm{Ad}(C(t))))A \end{align}\]证明Ad运算具有分配律，根据上一节的公式四：
\[\begin{align} \begin{aligned} e^{\mathrm{Ad}C(t)}H& =e^{C(t)}He^{-C(t)} \\ &=e^{tA}e^BHe^{-B}e^{-tA} \\ &=e^{\mathrm{Ad}(tA)}e^{\mathrm{Ad}(B)}H \\ \Rightarrow e^{\mathrm{Ad}(C(t))}& =e^{\mathrm{Ad}(tA)}e^{\mathrm{Ad}(B)} \end{aligned} \end{align}\]所以有：
\[\begin{align} \dot{C}(t)=g(e^{\operatorname{Ad}(tA)}e^{\operatorname{Ad}(B)})\cdot A \end{align}\]做积分：
\[\begin{align} C(t)&=C(0)+\int_0^tg(e^{\mathrm{Ad}(sA)}e^{\mathrm{Ad}(B)})A\mathrm ds\\ &=B+\int_0^tg(e^{\mathrm{Ad}(sA)}e^{\mathrm{Ad}(B)})A\mathrm ds\\ C(1)&=B+\int_0^1g(e^{\mathrm{Ad}(sA)}e^{\mathrm{Ad}(B)})A\mathrm ds\\ \end{align}\]证毕。 对$e^{\mathrm{Ad}(sA)}e^{\mathrm{Ad}(B)}$在$0$处泰勒展开:
\[\begin{align} e^{\mathrm{Ad}(sA)}e^{\mathrm{Ad}(B)}\approx1+s\mathrm{Ad}(A)+\mathrm{Ad}(B)+\cdots \end{align}\]在$x=1$处展开$g(x)$，带入得到:
\[\begin{align} C &= B+A-\frac{1}{2}\mathrm{Ad}(B)A+\cdots\\ &=B+A+\frac{1}{2}[A,B]+\cdots \end{align}\]这就是常用的近似形式。 对于足够小（范数意义上）的矩阵$A$，直接忽略Ad$(sA)$，可得到：
\[\begin{align} C&=B+g(e^{\mathrm{Ad}(B)})A\\ &=B+\frac{\mathrm{Ad}(B)}{e^{\mathrm{Ad}(B)}-1}A\\ &=B+\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}\mathrm{Ad}^n(B)A\\ &=B+A-\frac{1}{2}[B,A]+\frac{1}{12}[B,[B,A]]+\cdots \end{align}\]李代数
代数的定义为：
数域$\mathfrak{\kappa}$上的一个向量空间$V$，其上有一个二元运算$\odot:V\times V\rightarrow V$，亦即$a_1\in V,a_2\in V$，有$a_1\odot a_2\in V$。同时，这个运算满足环代数结构：
\[\begin{align} \begin{aligned}(a_1+a_2)\odot a_3&=a_1\odot a_3+a_2\odot a_3\\a_1\odot(a_2+a_3)&=a_1\odot a_2+a_1\odot a_3\\\alpha(a_1\odot a_2)&=(\alpha a_1)\odot a_2=a_1\odot(\alpha a_2),\quad\forall\alpha\in\kappa.\end{aligned} \end{align}\]
而李代数的定义则增加两条：
\[\begin{align} a_1\odot a_2=-a_2\odot a_1\\ a_1\odot(a_2\odot a_3)+(a_2\odot a_1)\odot a_3+a_2\odot(a_3\odot a_1)=0 \end{align}\]显然李代数不是一个结合代数：
\[\begin{align} \begin{aligned} \begin{aligned}(a_1\odot a_2)\odot a_3-a_1\odot(a_2\odot a_3)\end{aligned}& =[[a_1,a_2],a_3]-[a_1,[a_2,a_3]] \\ &=-[[a_3,a_1],a_2]] \end{aligned} \end{align}\]这一点与群乘法不同。 李代数可以从任何一个良定义的结合代数得到，当目光投向之前提到的矩阵集合$M(n,\kappa)$时，我们可以定义矩阵的李代数$\mathfrak{gl}(n,\kappa)$，两者具有相同的集合与线性空间，只是前者代数结构为矩阵乘法，后者代数结构为李括号，或称对易关系。 如果存在$\mathfrak{g}\in\mathfrak{gl}$，则称其为李子代数。用数学的语言描述即$\exists \text{a set }A,\forall a,b\in A, c=[a,b]\in A$。 暂举几例：
- $\mathfrak{sl}$代表零迹矩阵的集合，即$\mathfrak{sl}(n,\kappa)={A\in\mathfrak{gl}(n,\kappa)\mid \mathrm{tr}(A)=0}$。显然，其封闭性可以由$\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$保证。
- $\mathfrak{so}$代表反对称矩阵的集合，即$\mathfrak{so}(n,\kappa)={A\in\mathfrak{gl}(n,\kappa)\mid A^T=-A}$。
- $\mathfrak{u}$的线性空间为反厄米矩阵的集合，即$\mathfrak{u}(n,\kappa)={A\in\mathfrak{gl}(n,\kappa)\mid A^\dagger=-A}$。
李群和李代数和李代数的关系可以通过BCH公式看出。由于李代数的封闭性，因此对于一个李子代数$\mathfrak{g}\subset\mathfrak{gl}(n,\kappa)\quad\kappa=\mathbb Q,\mathbb{R},\mathbb{C}$，易知：
\[\begin{align} e^Ae^B=e^C \end{align}\]C也在李子代数中。因此，可逆线性算子$e^A,A\in\mathfrak{g}$满足群乘法构成了一个群。当然，前提是使用的BCH公式是收敛的，因此要求A和B都在原点的一个开邻域里。因此我们给出李群的完整定义：
$e^A\quad A\in\mathfrak{g}$的闭包构成了一个李群。
这意味着李群和李代数间存在一个指数映射：
\[\begin{align} \exp:\mathfrak{g}\rightarrow G \end{align}\]这个映射是一个满射，但不一定是单射。比如对于U$(1)$群，其李代数为$\mathfrak{g}=i\mathbb R$，显然存在一个无穷多的实数$\theta$，使得$e^{i\theta}=1$。从李群出发，考虑一个单参数李群$G$，其参数为$t$，则有：
\[\begin{align} g=e^{tA} \end{align}\]我们可以通过以下方式恢复李代数：
\[\begin{align} g^{-1}\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}g=A \end{align}\]这也说明了为什么李代数被称为李群在零元附近的切空间。这个切空间的维数即为李代数的维数。 李代数的生成元是其向量空间的基。这组基具有性质：
\[\begin{align} [T^a,T^b]=if^{abc}T^c \end{align}\]其中$f^{abc}$是结构常数。对于李代数，结构常数必然满足：
\[\begin{align} f^{abc}=-f^{bac}\\ f^{abd}f^{dce}+f^{bcd}f^{dae}+f^{cad}f^{dbe}=0 \end{align}\]经典矩阵群
经典矩阵群都是李群。
李群的群表示论
首先给出李群的自共轭作用：
\[\begin{align} c(g)(h)=ghg^{-1}\quad g,h\in G \end{align}\]由于李群是连续可微流形，所以先取$h$在单位元处的一阶导数，即：
\[\begin{align} c_*(g)(e)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}c(g)(e^{t A})\mid _{t=0}\triangleq\mathrm{Ad}(g)(A)\quad A\in\mathfrak{g} \end{align}\]注意到：
\[\begin{align} \mathrm{Ad}(g_1)\cdot\mathrm{Ad}(g_2)(A)=g_1g_2Ag_2^{-1}g_1^{-1}=\mathrm{Ad}(g_1g_2)(A) \end{align}\]和之前证明$\mathrm{Ad}$的运算性质相同。
因此$\mathrm{Ad}$是一个李群的表示。这个表示被称为李群的伴随表示，同时也是李群对李代数空间的伴随作用。 一般而言，任何李群的一个群表示：
\[\begin{align} \pi:G\mapsto\mathrm{GL}(V) \end{align}\]取一阶微分便可以得到李代数的一个表示：
\[\begin{align} \mathrm d \pi: \mathfrak{g}\mapsto\mathrm{End}(V) \end{align}\]对李群的伴随表示取微分，可以得到李代数的伴随表示：
\[\begin{align} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}Ad(e^{tB})(A)\mid _{t=0}=\mathrm{ad}(B)(A)=[B,A]\\ \rho:\mathfrak{g}\mapsto\mathrm{End}(\mathfrak{g})\quad\rho(A)\triangleq\mathrm{ad}(A) \end{align}\]这里的$\mathrm{ad}$是第一章的$\mathrm{Ad}$，为了区别李群和李代数的伴随表示如此改记。
这可以由如下推导看出：
\[\begin{align} e^{tB}Ae^{-tB}&=e^{t\mathrm{ad}(B)}A\\ &=A+t[B,A]+\frac{t^2}{2}[B,[B,A]]+\cdots\\ \end{align}\]因为$\mathrm{ad}(B)$为$\mathfrak{g}$的一个代数表示，其必然满足代数同态：
\[\begin{align} [\mathrm{ad}(B_1),\mathrm{ad}(B_2)](A)=\mathrm{ad}(B_1B_2)(A) \end{align}\] \[\begin{align} [B_1,[B_2,A]]-[B_2,[B_1,A]]=[[B_1,B_2],A] \end{align}\]李代数是一种特殊代数，其含有括号集，所以同态需要满足这个括号集的运算。
这正是Jocobi等式。
$\mathrm{SU}(2)$和$\mathrm{SO}(3)$的联系
进入一个具体的例子：$\mathfrak{su}(2)$群。首先其有一个基本表示，即$2\times2$反厄米矩阵。首先需要在这个$\mathbb C^{2\times2}$向量空间中找一组基。补充一个定义：
$\mathbb C^{n\times n}$空间中的内积定义为$\langle A,B\rangle=\mathrm{tr}(A^\dagger B)$
由于反厄米矩阵满足$A^\dagger=-A$，因此对基$T^a$取一个归一化条件:
\[\begin{align} \mathrm{T^a T^b}=-\delta^{ab} \end{align}\]解方程1可以得到：$T^a=i\sigma^a$。这组基即对应了李群$\mathrm{SU}(2)$的基本表示的生成元，且满足$[T^a,T^b]=-2\varepsilon^{abc}T^c,f^{abc}=2i\varepsilon^{abc}$。$\mathfrak{su}(2)$向量空间中的任意向量均可以用一个三维实向量表示出：$\vec x\cdot \vec T=i\vec x\cdot \vec\sigma,\vec\sigma=(\sigma^1,\sigma^2,\sigma^3)$。则李代数的伴随表示为：
\[\begin{align} \mathrm{ad}(X)(T^a)=[X,T^a]=[x^b T^b,T^a]=x^bif^{bac}T^c \end{align}\]可以预见$\mathrm{ad}(X)$也构成一个群，其生成元为：
\[\begin{align} [\mathrm{ad}(T^b)]_{ca}=if^{bac} \end{align}\]观察系数，可以得到：
\[\begin{align} y'^b=-x^aif^{abc}y^b \end{align}\]可以陈述为，$\mathfrak{su}(2)$的伴随变换诱导了一个$\mathbb R^{3\times3}$的变换。新变换的基可以由$\mathfrak{su}(2)$的基产生，即：
\[\begin{align} (T_{adj}^a)^{bc}=-if^{abc} \end{align}\]其显然满足：$(T_{adj}^a)^{bc}=-(T_{adj}^a)^{cb}\Rightarrow (T_{adj}^a)^T=-(T_{adj}^a)$，即其是反对称的，亦即$\mathfrak{o}(3)$代数。进一步的推导可以说明其为$\mathfrak{so}(3)$，自然，其对应的李代数为$\mathrm{SO}(3)$。又注意到$\mathrm{ad}(T^a)(X)=\mathrm{ad}(-T^a)(X)$，因此$\mathrm{SU}(2)$与$\mathrm{SO}(3)$群有2-1的映射关系，也易于证明其完全覆盖了$\mathrm{SO}(3)$。在拓扑上，即$\mathrm{SU}(2)$为$\mathrm{SO}(3)$的二重覆盖。
$\mathfrak{sl}(2)$和洛伦兹变换
$\mathfrak{sl}(2,\mathbb R)$是$2\times2$零迹矩阵的集合。选取该空间中的一组基如下：
\[\begin{align} T^b=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} \quad T^a=\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \quad T^c=\begin{pmatrix} 0&1\\ -1&0 \end{pmatrix} \end{align}\]可以立即计算出该代数的结构常数:
\[\begin{align} f^{123}=i\quad f^{132}=i\quad f^{231}=-i \end{align}\]则其伴随表示的矩阵表示由前知为：
\[\begin{align} [T^a]_{bc}=if^{acb} \end{align}\]则伴随表示的三个基为：
\[\begin{align} T_1=\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&-1\\0&-1&0 \end{pmatrix}\quad T_2=\begin{pmatrix} 0&0&1\\0&0&0\\1&0&0 \end{pmatrix}\quad T_3=\begin{pmatrix} 0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix}\quad \end{align}\]这就是2+1D洛伦兹代数，因为我们可以看到对应的三个李群生成元为：
\[\begin{align} S^1=e^{T_1\theta_1}=\begin{pmatrix} 1&&\\&\cosh\theta_1&-\sinh\theta_1\\&-\sinh\theta_1&\cosh\theta_1 \end{pmatrix}\\ S^2=e^{T_2\theta_2}=\begin{pmatrix} \cosh\theta_2&&\sinh\theta_2\\&1&\\\sinh\theta_2&&\cosh\theta_2 \end{pmatrix}\\ S^3=e^{T_3\theta_3}=\begin{pmatrix} \cos\theta_3&-\sin\theta_3&\\\sin\theta_3&\cos\theta_3&\\&&1 \end{pmatrix} \end{align}\]视$\theta_1$和$\theta_2$为快度，$\theta_3$为角度，则$S^1$是沿$y$轴的lorentz boost，$S^2$是沿$x$轴的lorentz boost，而$S^3$为绕$z$轴的旋转。 另一种快速论证是基于上述所有$T^a$都满足${T^a,T^b}=0\quad a\neq b$。因此，在$\mathfrak{sl}(2,\mathbb R)$空间中的任意矢量都可以表示为：
\[\begin{align} \vec M = x T^a+yT^b+t T^c \end{align}\]而快速计算可以得知：
\[\begin{align} \mid M\mid ^2=\vec M\cdot \vec M = (x^2+y^2-t^2)\mathbf 1 \end{align}\]伴随表示也可以理解为$\mathrm{SL}(2,\mathbb R)$在carrier space$\mathfrak{sl}(2,\mathbb R)$上的伴随作用：$\rho:\vec M\mapsto u\vec M u^{-1},u\in\mathrm{SL}(2,\mathbb R)$。可以看到，这个伴随作用对模方无影响，因此伴随表示是保$x^2+y^2-t^2$不变的，这正是2+1D空间中的“距离”。 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$的伴随表示则形成了Minkowski空间中的洛伦兹代数，不予赘述。
Casimir算符
一般而言，李代数的矩阵表示$\rho(a)$的矩阵乘法并不是一个良定义，因为我们不能保证$\rho(a)\rho(b)$仍在这个李代数里。
$\mathrm O(3)$群、$\mathrm{SO}(3)$群和$\mathrm{SU}(2)$群
- 道路连通：任意两点间可以通过连续的变换连接。
- 单连通：任意闭合曲线可以通过连续的变换收缩为一点。
拓扑性质上，$\mathrm O(3)$群不是道路连通的，因为其两个分支$\mathrm{SO}(3)$和$(-E_3)\mathrm{SO}(3)$具有分立的行列式，并不能通过连续的变换连接。
$\mathrm{SO}(3)$群可以视为三维空间中的转动，其群元可以用转轴及转动角度标记：
\[\begin{align} \mathrm{SO}(3)={R(\mathbf n,\theta)\mid \mid \mathbf n\mid =1,0\leq\theta\leq180)} \end{align}\]这意味着我们可以用一个一维参数$\theta$和一个三维受约束参数$\mathbf n$描述群，可以将$\mathbf n$视为一个方向，而把$\theta$作为半径，群即成为三维空间中半径为$\pi$的球体，其中每一个点均为一个群元。
特殊在于，球面上的对径点是同一个点，类似周期性边界条件。$\mathbf{SO}(3)$群显然是一个道路连通群。但是由于周期性边界的存在，显然任意对径点之间的连线是一个闭合回路，而其无法拓扑等价于一个点。因而其非单连通而是复连通的。
$\mathrm{SU}(2)$群的群元如写为：
\[\begin{align} U=\begin{pmatrix} a&b\\-b^*&a^*\\ \end{pmatrix}\quad a = x_0+ix_1,b=x_2+ix_3 \end{align}\]可以验证$x_ix^i=1$，亦即群元处于四维球体的三维球面$S^3$上。由于$S^3$可以等效成三维球体，因而其为单连通的。单连通的$\mathrm{SU}(2)$与双连通的$\mathrm{SO}(3)$间有二重覆盖关系，这在前面已经得到了证明。由于$\mathrm{SO}(3)$为实空间中的旋转，二重覆盖性导致了$\mathrm{SO}(3)$空间内的一周旋转在$\mathrm{SU(2)}$中需要旋转两倍。这可以由如下映射看出：
\[\begin{align} Q(\mathbf z,\theta)=e^{i\frac{\sigma_z}2\theta}=\begin{pmatrix} e^{-i\frac{\theta}2}&0\\ 0&e^{-i\frac{\theta}2}\\ \end{pmatrix}=\cos\frac{\theta}2\mathbf E_2-i\sin\frac{\theta}2\sigma_z\\ \mathrm{ad}(Q)=R(\mathbf z,\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix} \end{align}\]不加证明地给出，三维空间中的一般转动绕$\mathbf n=(\cos\alpha,\cos\theta,\cos\gamma)$转动$\theta$度数的$\mathrm{SU}(2)$表示为：
\[\begin{align} Q(\mathbf n,\theta)=\cos\frac{\theta}2\mathbf E_2-i\sin\frac\theta2(\cos\alpha\cdot\mathbf\sigma_1+\cos\beta\cdot\sigma_2+\cos\gamma\cdot\sigma_3) \end{align}\]当然其中的角度值可以为$\pm\theta$。可以数学上验证（亦是定轴转动的物理本质），其满足：
\[\begin{align} Q(\mathbf n,\theta_1)Q(\mathbf n,\theta_2)=Q(\mathbf n,\theta_1+\theta_2) \end{align}\]因此$Q(\mathbf n,\theta)$构成一个$\theta$的单参数Abel子群。反幺李代数$\mathfrak{su}(2)$的基可以由该子群切向量得到：
\[\begin{align} A_i=-\frac{\mathrm d}{\mathrm d\theta}Q(\mathbf i,\theta)\mid _{\theta=0} \end{align}\]这亦构成了$A_1$型李代数。
$A_1$型李代数$\mathfrak{su}(2)^c$
其基根据物理取为：
\[\begin{align} \mathbf L_1=\frac12\sigma_1=\frac12\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0\\ \end{pmatrix}\quad \mathbf L_2=\frac12\sigma_2=\frac12\begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0\\ \end{pmatrix}\quad \mathbf L_3=\frac12\sigma_3=\frac12\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1\\ \end{pmatrix} \end{align}\]其满足常见的角动量对易关系：
\[\begin{align} [\mathbf L_i,\mathbf L_j]=i\varepsilon_{ijk}\mathbf L_k \end{align}\]也可以取Weyl基，亦即升降算符：
\[\begin{align} \mathbf L_{\pm}=\mathbf L_1\pm i\mathbf L_2\quad [\mathbf L_+,\mathbf L_-]=\mathbf L_z\quad \mathrm{ad}(\mathbf L_z)\mathbf L_{\pm}=\mathbf L_{\pm} \end{align}\]接下来研究$A_1$型李代数的玻色子算符实现。考虑二量子态的玻色子，其产生湮灭算符记为$a(a^\dagger),b(b^\dagger)$。定义算符：
\[\begin{align} J_1=\frac{a^\dagger b+b^\dagger a}2,J_2=\frac{a^\dagger b-b^\dagger a}{2i},J_3=\frac{a^\dagger a-b^\dagger b}2 \end{align}\]可以证明这三个算符构成了$A_1$型李代数。亦可以证明存在两个特殊算符：
\[\begin{align} J=\frac{a^\dagger a+b^\dagger b}2\quad J^2=\frac12N(\frac12N+1)\quad N=2J \end{align}\]其满足与任意$J_i$均对易，因而可以构建$J$与$J_3$的共同本征态。由于这两个本质都是由Bose粒子数算符构成的，因而可以用Bose粒子表象表示：
\[\begin{align} J\mid n_1,n_2\rangle=\frac{n_1+n_2}2\mid n_1,n_2\rangle\\ J_3\mid n_1,n_2\rangle=\frac{n_1-n_2}2\mid n_1,n_2\rangle \end{align}\]分别定义本征值为$j=\frac{n_1+n_2}2$与$m=\frac{n_1-n_2}2$，已经可以看出，这两个本征值在角动量问题中具有特殊的物理意义：球谐函数的两个量子数。由于$n_i$的非负整数性质，显然有$-j\leq m\leq j$且两者均为半整数或整数。
我们找到了$\mathrm{SU}(2)$的不等价既约酉表示系，记为$D^j$。每一个表示具有$2j+1$维度。角动量的耦合法则可以用$\mathrm{SU}(2)$的群语言表示为：
\[\begin{align} D^j\otimes D^{j^{\prime}}=D^{j+j^{\prime}}\oplus D^{j+j^{\prime}-1}\oplus\cdots\oplus D^{\mid j-j^{\prime}\mid } \end{align}\]可以通过表示的维数相等来验证。由于任意表示$D^j$都可以从$\underbrace{D^{\frac12}\otimes\cdots\otimes D^{\frac12}}_{2j}$中取最高权既约表示中获得，因而也称$D^{\frac12}$为自然表示。
这一步物理上有重要应用：寻找狄拉克矩阵。 ↩