张量概述
SO(2)群及其向量
SO(2)群是由二维平面上所有的定点转动构成的全体。不妨定义为：
\[\begin{align} SO(2)={R_z(\theta)|0\le\theta\le2\pi } \end{align}\]$R_z(\theta)$是使得向量$r=xi+yj$逆时针旋转$\theta$角的变换。
描述这个变换有两种方法，一种是认为在定系中的旋转，另一种则是认为是基的旋转。我们采取后一种（另一种表述其实就是$\theta\rightarrow-\theta$，用矩阵符号表示为：
\[\begin{align} R_z(\theta)=\begin{pmatrix}\cos{\theta}&\sin{\theta}\\-\sin{\theta}&\cos{\theta}\end{pmatrix} \end{align}\]SO(2)群的张量
首先建立一阶张量，即向量。
\[\begin{align} \vec{A}=a_1\hat{i}+a_2\hat{j},\vec{B}=b_1\hat{i}+b_2\hat{j} \end{align}\]二阶张量用T表示，其通过一阶张量的张量积构造：
\[\begin{align} T=\vec{A}\otimes\vec{B},T_{lm}=a_lb_m \end{align}\]在物理中，这个张量也称为并矢。
在另一个系$\hat{i}’,\hat{j}’$系中，借用第1节中的推导：
\[\begin{align} \vec{A}'=R_z(\theta)\vec{A},\vec{B}'=R_z(\theta)\vec{B}\\ \vec{A}'\otimes\vec{B}'={a_1'\vec{B}',a_2'\vec{B}' }\\ ={a_1'R_z(\theta)\vec{B},a_2'R_z(\theta)\vec{B} }\\ =R_z(\theta){a_1'\vec{B},a_2'\vec{B} }\\ =R_z(\theta)(R_z(\theta)A)\otimes B\\ =(R_z(\theta)\otimes R_z(\theta))(A\otimes B) \end{align}\]【定义】如果一个客观量在$(\hat{i},\hat{j})$和$(\hat{i}’,\hat{j}’)$分别为T和T’，且满足
\[\begin{align} T'=(R_z(\theta)\otimes R_z(\theta))T \end{align}\]则称T为SO(2)群下的二阶张量。
对于任意n阶张量，在二维系里的分量具有形式：
\[\begin{align} T_{i_1i_2\dots i_n},i_j\in{1,2 } \end{align}\]如果在两坐标系之间存在等式
\[\begin{align} T'=\prod_i^n\otimes R_z(\theta)T \end{align}\]则称T为SO(2)群下的n阶张量。
SO(3)群的张量
仿照SO(2)群中的推导，假设新基$\hat{i}’,\hat{j}’,\hat{k}’$在原基中的方向余弦为$(\cos{\alpha_i},\cos{\beta_i},\cos{\gamma_i})$
则坐标变换矩阵为：
\[\begin{align} \gamma_{ij}=\begin{pmatrix}\cos{\alpha_1}&\cos{\beta_1}&\cos{\gamma_1}\\ \cos{\alpha_2}&\cos{\beta_2}&\cos{\gamma_2}\\ \cos{\alpha_3}&\cos{\beta_3}&\cos{\gamma_3}\end{pmatrix} \end{align}\]那么具有$3^n$个分量的n阶张量，其属于SO(3)群的条件为：
\[\begin{align} T'=\prod_i^n\otimes \gamma_{ij}T \end{align}\]值得注意的是：
\[\begin{align} \gamma_{ij}\gamma_{ij}^T=I \end{align}\]惯性张量
【定义】三维空间中的惯性张量是一个二阶张量，其定义为：
\[\begin{align} J=\sum_im_i(|r_i|^2I-r_i\otimes r_i) \end{align}\]其中I为二阶常值张量，即单位阵。
立即得到惯性张量的矩阵形式：
\[\begin{align} J=\begin{pmatrix} \sum_im_i(y_i^2+z_i^2)&-\sum_im_ix_iy_i&-\sum_im_iz_ix_i\\ -\sum_im_ix_iy_i&\sum_im_i(x_i^2+z_i^2)&-\sum_im_iy_iz_i\\ -\sum_im_iz_ix_i&-\sum_im_iy_iz_i&\sum_im_i(x_i^2+y_i^2) \end{pmatrix} \end{align}\]【证明】
\[\begin{align} (A\otimes B)C_{4\times1}\Leftrightarrow AC_{2\times2}B^T \end{align}\]（读者自证不难）
由于物理定律的要求，角动量对于参考系变换是协变的。这可以由惯性张量和角动量张量积对基变换的协变性看出：
\[\begin{align} L'=\gamma_{ij}L =\gamma_{ij}J\Omega =\gamma_{ij}J\gamma_{ij}^T\gamma_{ij}\Omega =J'\Omega' \end{align}\]O(3)群的张量
真向量和赝向量
一般的向量$\vec{v_1}$和$\vec{v_2}$在反演变换中坐标变为相反数，但其叉积对于反演变换是不变的。前者称为真向量，后者称为赝向量。
O(3)群
在转动的基础上扩大变换群，使之对反演变换也封闭，就是O(3)群。O(3)群实际上就是正交群，定义为：
\[\begin{align} O(3)={O|O\in GL(3,\mathbb{R}),O^TO=E } \end{align}\]该群具有两种表示：
自然表示
如果一阶张量（三维向量）是按下面的规则（自然表示）变换：
\[\begin{align} T'=(O_{ij})T \end{align}\]则其被称为真向量。
赝表示
如果一阶张量（三维向量）是按下面的规则（自然表示）变换：
\[\begin{align} T'=\det(O_{ij})(O_{ij})T \end{align}\]则其被称为赝向量。
相比SO(3)，从矩阵角度考虑，O(3)不再需要特征值为1，还可以是-1，因此有两种表示，代表了手性的变化，从而扩大了群。
齐次Lorentz群
在时空坐标系中，定义坐标：
\[\begin{align} x_1=x,x_2=y,x_3=z,x_4=ict \end{align}\]由于狭义相对论光速不变的保证，有任意参考系中：
\[\begin{align} x^2+y^2+z^2-c^2t^2=constant \end{align}\]相当于我们之前定义的四维向量模长不变。因此立即得到这个空间，定义为Minkowski空间中的变换为一种特殊的酉变换——Lorentz变换。
\[\begin{align} L={L_{ij}|L_{ij}\in GL(4,\mathbb{C}),L_{ij}^TL_{ij}=E,L_{ij}|_{i,j\le3\and i=i=4} \in\mathbb{R},L_{i4}\and L_{4j}\in i\mathbb{R} } \end{align}\]齐次Lorentz群的张量
从第六节中的齐次洛伦兹群的自然表示中可以构造张量。而一种特殊的洛伦兹变换的矩阵形式为：
\[\begin{align} \begin{pmatrix}O_{ij}&0\\0&1\end{pmatrix} \end{align}\]这对应绝对时空观，或者说无相对速度参考系之间的变换。
在这种变换中的四维二阶张量的变换满足：
\[\begin{align} T'=(L_{\mu\nu})T(L_{\mu\nu})^T,(L_{\mu\nu})=\begin{pmatrix}(O_{ij})&0\\0&1\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}T_{11}'&T_{12}'&T_{13}'\\ T_{21}'&T_{22}'&T_{23}'\\ T_{31}'&T_{32}'&T_{33}'\end{pmatrix}=(O_{ij})\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}&T_{13}\\ T_{21}&T_{22}&T_{23}\\ T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{pmatrix}(O_{ij})^T\\ \begin{pmatrix}T_{14}'\\T_{24}'\\T_{34}'\end{pmatrix}=(O_{ij})\begin{pmatrix}T_{14}\\T_{24}\\T_{34}\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}T_{41}'&T_{42}'&T_{43}'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}T_{41}&T_{42}&T_{43}\end{pmatrix}(O_{ij})^T\\ T'_{44}=T_{44} \end{align}\]所以从三维空间来看，4维2阶张量是由一个3维2阶张量，两个3维向量和一个三维标量组成。
电磁场张量和Maxwell方程
由于电磁场方程可以导出真空光速不变，所以其本身其实是相对论性的。通常的Maxwell方程组是三维形式的，但可以改造为四维形式使其具有相对论协变性。
真空中的Maxwell方程组的形式为：
\[\begin{align} \nabla\times B=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}+\mu_0j\\ \nabla \times E=-\frac{\partial B}{\partial t}\\ \nabla\cdot B=0\\ \nabla\cdot E=\frac{\rho}{\varepsilon_0} \end{align}\]构造电磁场张量：
\[\begin{align} F=(F_{\mu\nu})=\pmatrix{0&B_z&-B_y&-\frac icE_x\\ -B_z&0&B_x&-\frac icE_y\\ B_y&-B_x&0&-\frac icE_z\\ \frac icE_x&\frac icE_y&\frac icE_z&0}= \pmatrix{\mathbf{B}&\mathbf{-E}\\ \mathbf{E}&0} \end{align}\]同时我们观察到，由于体积的洛伦兹收缩：
\[\begin{align} V=\frac1{\gamma}V_0 \end{align}\]所以有体电荷密度：
\[\begin{align} \rho=\gamma\rho_0,J=\gamma\rho_0u \end{align}\]由于：
\[\begin{align} -(c\rho)^2+J^2=-\rho_0^2c^2 \end{align}\]所以构造Minkowski空间中的四维矢量：
\[\begin{align} J^{\mu}=(j_x,j_y,j_z,ic\rho) \end{align}\]立即可以改写Maxwell方程为：
\[\begin{align} \partial_{\nu}F^{\mu\nu}=\mu_0J^{\mu}\\ \partial_{\lambda}F^{\mu\nu}+\partial_{\mu}F^{\nu\lambda}+\partial_{\nu}F_{\lambda\mu}=0 \end{align}\]如果改写电磁场张量为其对偶张量$G^{\mu\nu}$还可以方便地改写第二条公式为：
\[\begin{align} \partial_{\nu}G^{\mu\nu}=0 \end{align}\]在Minkowski空间中变换时，电磁场张量的变换规律遵从洛伦兹变换：
\[\begin{align} (F_{\mu\nu}')=(L_{\mu\nu})(F_{\mu\nu})(L_{\mu\nu})^T \end{align}\]四维不变量
四维不变量指在洛伦兹变换下张量的不变量。
迹不变：酉相似变换保迹
行列式不变：洛伦兹变换保模，我们可以得到Poynting矢量：
- 张量$T\otimes T$的（二次）缩并是一个不变量，应用到电磁场张量上，可以得到
注意到迹实际上就是原张量的一次缩并