布洛赫电子动力学

布洛赫电子动力学

电子在磁场中的运动

电子感受洛伦兹力：

\[\begin{align} \hbar\frac{\mathrm d\vec k}{\mathrm{d}t}=-e\vec v\times \vec B \end{align}\]

因为电子群速度/波包速度是：

\[\begin{align} \vec v = \frac{1}{\hbar}\nabla_k E(\vec k) \end{align}\]

可以得到一个经典的结论：洛伦兹力不做功，即电子在磁场中运动不会改变其能量。

\[\begin{align} \frac{dE}{dt}=\frac{dE}{d\vec{k}}\cdot\frac{d\vec{k}}{dt}=\nabla_{k}E\left(\vec{k}\right)\cdot\frac{d\vec{k}}{dt}=0. \end{align}\]

换一句话说，能带中电子在均匀外磁场下总是沿着垂直于外磁场的平面和电子等能面的交线运动。 将速度分解为平行磁场分量和垂直磁场分量，与磁场的平行分量满足$v_{\parallel}\times B=0$，由运动方程，其必为匀速运动。对于垂直磁场的运动，则必然有$\frac{\mathrm d\vec k}{\mathrm d t}\perp\vec v$，且速度分量为动量变化量顺时针旋转90度，亦即实空间的运动相当于动量空间中的运动顺时针旋转90度。由于我们知道均匀磁场中，电子在磁场横截面上做回旋运动，因此电子的倒空间中也是回旋运动。 对于自由电子，其等能面为球面，因此其回旋运动轨迹为一个圆。假设其半径为$K$，则回旋周期为：

\[\begin{align} T=\frac{2\pi K}{\frac{1}{\hbar}evB}=\frac{2\pi}{eB}\frac{\hbar K}{v}=2\pi\frac{m}{eB} \end{align}\]

这里我们考虑了各向同性的自由电子，因此$K=\frac{m}{\hbar}v$。对于能带中的电子，则需要使用有效回旋质量（不一定等于能带有效质量，有效质量张量的平均值），定义为$m_c^*$。 以上我们使用的经典力学的方法研究的电子在磁场中的运动，这种方法在研究电子在磁场中的运动时是非常有效的。但是在研究电子在磁场中的量子行为时，我们需要使用量子力学的方法。在量子力学中，我们可以通过求解薛定谔方程来研究电子在磁场中的运动。在不考虑自旋磁场相互作用(Zeeman spilt)下，在垂直磁场的平面内电子能量量子化。如果考虑三维情况，我们可以得到：

\[\begin{align} E(k)=\frac{\hbar^2}{2m}k_z^2+(n+\frac{1}{2})\hbar\omega_c,\omega_c=\frac{eB}{m_c^*} \end{align}\]

在倒空间，自由电子将根据朗道能级进行占据： 在磁场横截面上，朗道能级为一个个朗道环。其简并度是很高的，一种粗糙的推导是假设弱磁场不改变总态密度，每一个朗道能级将相邻两个朗道所围面积中的态数分配给自己，因此朗道能级的简并度为：

\[\begin{align} E_n = (n+\frac{1}{2})\hbar\omega_c=\frac{\hbar^2}{2m}(k_x^2+k_y^2)\\ N = \frac{S}{4\pi^2} \Delta A\\ \Delta A = \pi[\Delta(k_x^2+k_y^2)]=\pi\frac{2m}{\hbar^2}\Delta E=\frac{2\pi m}{\hbar^2}\hbar\omega_c=\frac{2\pi eB}{\hbar}\\ \therefore N = \frac{S}{4\pi^2}\frac{2\pi eB}{\hbar}=\frac{eBS}{2\pi\hbar}=\frac{\Phi}{\Phi_0} \end{align}\]

考虑了电子自由度之后，朗道能级的简并度为：

\[\begin{align} p = 2N = \frac{2e}{h}BS=\frac{\Phi}{\Phi_0}\quad \Phi_0 = \frac{h}{2e}\approx2.067\times10^{-15}\mathrm{Wb} \end{align}\]

一般而言，在1T的磁场中，金属的朗道能级数可以达到$10^{4}$量级。因此可以使用半经典的波尔-索末菲近似：

\[\begin{align} \oint \vec p\cdot \mathrm d\vec r = 2\pi\hbar(n+\gamma)\quad n\in\mathbb{Z},\gamma\in[0,1) \end{align}\]

可以得到实空间中电子的回旋面积为$\frac{2\pi\hbar}{eB}(n+\gamma)$，k空间中的电子回旋面积即为$\left(\frac{eB}{\hbar}\right)^2S_{real}=\frac{2\pi eB}{\hbar}(n+\gamma)$。但是显然我们可以通过能量色散/能级公式看出：

\[\begin{align} (n+\frac{1}{2})\hbar\omega_c=\frac{\hbar^2}{2m}k^2\\ S = \pi k^2=\frac{2\pi m}{\hbar^2}(n+\frac{1}{2})\hbar\omega_c \end{align}\]

可以得到相同的结论。定义k空间回旋面积为$A_k$，固定回旋面积不变（因为我们知道电子在K空间总是要在等能面/费米面与磁场横截面交线上运动的），所以有：

\[\begin{align} \frac{1}{B}=\frac{2\pi e}{\hbar A_k}(n+\gamma) \end{align}\]

实验上通过扫描磁场，可以影响电子回旋的朗道能级从而周期性（相对于$\frac{1}{B}$）地改变磁化率、比热等性质。这种现象被称为量子振荡（de Hass-Van Alphen Effect）。 对于三维情况，费米面与磁场的交线有很多条，所有的轨道对于de Hass-Van Alphen效应都会有贡献。类似最小作用量原理中，所有可能路径都可以贡献相位，但是由于高密而迅速抵消，最终极值路径留存。这里总效应最终也是由极值轨道贡献。 由于金银铜都是fcc结构，

FCC倒格子为BCC，BCC倒格子为FCC。且两者倒格子的晶格常数均为$\frac{2\pi}{a}$，可能与独立原子数有关

计算可以得到，自由电子的费米球直径为$2k_F\approx\frac{9.8}{a}$，通过六角面的格点间距为bcc格子的[111]方向，亦即$\frac{10.88}{a}$，而通过方形面连接的间距为$\frac{12.57}{a}$，因此金银铜只在六角面附近由费米面的连接。

IQHE

电阻

之前讨论的能带中的电子，其波函数是完美的bloch波，其只有绝缘和理想导体的区别。只有考虑了电子-声子作用、电子-电子作用和缺陷等，才存在电阻。

电子-声子散射

电子-声子散射作用只发生在费米面附近$k_BT$，因为过于深的电子其距离空态太远。假设声子的能量为$\hbar\omega(q)$，则能动量守恒条件为：

\[\begin{align} E_{k'}=E_k\pm\hbar\omega(q),\vec k'=\vec k\pm\vec q+\vec G \end{align}\]

相对于电子（费米面附近的）而言，声子的能量较小（meV to eV），但波矢较大，在布里渊区边界附近与费米波矢可以比拟。因此我们可以处理成准弹性散射，电子在散射前后能量不变，动量改变，亦即在费米面上移动。 解电子的玻尔兹曼方程可以给我们一个弛豫时间的表达式：

\[\begin{align} \frac{1}{\tau} = \frac{1}{8\pi^3}\int\varpi_{\vec k,\vec k'}(1-\cos\theta)\mathrm d\vec k' \end{align}\]

其中$\varpi_{\vec k,\vec k’}$是电子-声子散射概率。基本正比于声子数密度。电阻率使用Drude模型：

\[\begin{align} \sigma = \frac{ne^2\tau}{m^*} \end{align}\]

高温（大于德拜温度）

高频声子被激发，波矢较大，可以发生大角度散射。由于所有的声子态都可以被相当成都上的激发了，所以认为温度只会影响声子数量而不再显著影响声子的动量。因此上面的解析式中$1-\cos\theta$基本为一个常数。

回顾声子的态密度：

\[\begin{align} D(\omega)\mathrm d\omega=4\pi K^2\frac{V}{8\pi^3}\mathrm dK=\frac{V}{2\pi^2}K^2\frac{\mathrm dK}{\mathrm d\omega}\mathrm d\omega \end{align}\]

而在高温，可以使用爱因斯坦模型，声子态密度为一个与温度/能量无关的常量。

高温下，声子数目由玻色统计决定：

\[\begin{align} \frac{1}{e^{(\hbar\omega-\mu)/k_BT}-1}\approx\frac{k_BT}{\hbar\omega}\propto T \end{align}\]

因此散射概率正比于温度，散射率正比于温度，电阻率正比于温度。

\[\begin{align} \frac{1}{\tau}\propto T\Rightarrow\rho\propto T \end{align}\]

低温（远小于德拜温度）

• 低温下声子动量很小，散射角很小，$1-\cos\theta=2\sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1}{2}(q/k_F)^2\sim T^2$
• 低温下，假设只有低频声学支，则$\omega=vq$，则声子数目形式上为$\int \varepsilon^2f(\frac{\varepsilon}{k_BT})\mathrm d\varepsilon\propto T^3$。 因此总的而言，$\frac{1}{\tau}\propto T^5$，亦即$\rho\propto T^5$。但这实质上是只考虑了动量守恒中$\vec G=0$的过程，由于低温下这个过程是$T^5$的压低，因此倒逆过程（$\vec G\neq 0$）将会对电阻率有贡献。 倒逆过程相对于正常过程，其波矢具有一个极小值。但一旦发生，电子的运动受到极大散射，因而在低温下对电阻具有可观的贡献。这个贡献就由这个极小值的波矢决定，定义刚好能激发这个最小波矢对应的温度为$\theta$，则$\rho\propto e^{-\frac{\theta}{T}}$。 顺带一提，电子电子相互作用的散射概率正比于$T^2$，因此在低温下，电子电子相互作用的散射会压倒电子声子相互作用的散射。

  其他电阻贡献

• 剩余电阻率，由于杂质的存在，其不贡献声子，因此和电子是与温度无关的完全弹性散射。
• 磁阻，由于电子在磁场中的运动，其在晶格中的散射会导致电阻。完美的球形费米面和单载流子体系中不存在磁阻，但是如果费米面各向异性，或者有多能带经过费米面，则存在磁阻：

\[\begin{align} \frac{\Delta\sigma}{\sigma_0}=\frac{\sigma_{10}\sigma_{20}}{(\sigma_{10}+\sigma_{20})^2}(\omega_{c1}\tau_1-\omega_{c2}\tau_2)^2 \end{align}\]

此外，还存在负磁阻的效应。

相位效应

由于电输运中存在比如杂质的纯弹性散射，这个过程中波矢不变亦即频率不变，但是可以获得一个恒定的相位差，从而使得电子波函数相干。当然，声子等非弹性的散射会破坏相干性，但是低温下，声子散射的弛豫时间远长于杂质散射的弛豫时间，因此定义相干长度为$v_F\tau_{phonon}$。 一个有趣的现象是弱局域化，考虑电子存在一个闭合路径上，正向振幅为$A^+$，反向振幅为$A^-$，则总概率为$|A^+|^2+|A^-|^2+A^+A^{-}+A^-A^{+}=4A^2$，相对经典不考虑交叉项，局域化的概率增大了，电阻增大而电导减小。

其他输运行为

用量子玻尔兹曼方程来研究电子的非平衡分布函数：

\[\begin{align} f_n(\vec r,\vec k,t) \end{align}\]

其中$n$是能带指标，且只考虑了一种自旋。由于同时考虑了位置和动量，因此我们实际上使用了一种半经典的方法。以电输运为例：

\[\begin{align} \begin{aligned}\vec{J}&=-en(\vec{r},t)\vec{\nu}_d\\&=-\frac2{8\pi^3}\int e\vec{\nu}_{\vec{k}}f(\vec{r},\vec{k},t)d\vec{k}\end{aligned} \end{align}\]

其中系数2为自旋自由度，而$\frac{1}{(2\pi)^3}$是基于归一化的考虑。在均匀电场中，布洛赫电子会在倒空间中匀速漂移，分布函数当然也是。进一步考虑了碰撞之后，可以写出连续性方程：

\[\begin{align} \begin{aligned}f(\vec{r},\vec{k},t)&=f(\vec{r}-\dot{\vec{r}}dt,\vec{k}-\dot{\vec{k}}dt,t-dt)\\&+(\frac{\partial f}{\partial t})_\text{碰撞}dt\end{aligned} \end{align}\]

得到电子稳态玻尔兹曼方程：

\[\begin{align} \dot{\vec{k}}\cdot\frac{\partial f}{\partial\vec{k}}+\dot{\vec{r}}\cdot\frac{\partial f}{\partial\vec{r}}=(\frac{\partial f}{\partial t})_\text{碰撞} \end{align}\]

做近似处理：

• 近似1：非平衡的稳态分布相对于平衡分布偏离很小！

\[\begin{align} f=f_0+f_1,\quad(f_1<<f_0) \end{align}\]

• 近似2：碰撞的弛豫时间近似

\[\begin{align} (\frac{\partial f}{\partial t})_\text{碰撞}=-\frac{f_0-f}\tau=-\frac{f_1}\tau \end{align}\]

最终得到：

\[\begin{align} \dot{\vec{k}}\cdot\frac{\partial f_0}{\partial\vec{k}}+\dot{\vec{r}}\cdot\frac{\partial f_0}{\partial\vec{r}}=-\frac{f_1}\tau \end{align}\]

对于均匀电场，费米狄拉克分布$f_0$是位置无关的，且$\hbar \dot{\vec k}=-e\vec E$，因此得到：

\[\begin{align} -\frac{e\vec{E}}\hbar\cdot\frac{\partial f_0}{\partial\vec{k}}=-\frac{f_1}\tau \end{align}\]

由费米狄拉克分布的偶函数性质，电流密度满足：

\[\begin{align} \begin{aligned}\bar{J}=-\frac e{4\pi^3}\int f\vec{\nu}_{\vec{k}}d\vec{k}&=-\frac e{4\pi^3}\int(f_0+f_1)\vec{\nu}_{\vec{k}}d\vec{k}\\&=-\frac e{4\pi^3}\int f_1\vec{\nu}_{\vec{k}}d\vec{k}\end{aligned} \end{align}\]

带入得到：

\[\begin{align} \begin{aligned} &\vec{J}=-\frac{e^2}{4\pi^3}\int\tau\frac{\partial f_0}{\partial\varepsilon}\vec{\nu}_{\vec{k}}(\vec{\nu}_k\bullet\vec{E})d\vec{k} \\ &=\frac{e^2}{4\pi^3}\int\tau\frac{\vec{\nu}_k(\vec{\nu}_k\bullet\vec{E})}{\hbar\nu_k}(-\frac{\partial f_0}{\partial\varepsilon})dSd\varepsilon \end{aligned} \end{align}\]

这里第二个等号使用了推导：

推导为：

\[\begin{align} V_{d\omega_s}=\int d\vec{q}=\int_\text{等频率面}dS_{\omega_s}dq_\perp \end{align}\]

由于：

\[\begin{align} |\nabla \epsilon(\vec q)|\mathrm d q_{\perp}=\mathrm d \epsilon(\vec q)=\mathrm d\omega\\ |\nabla \epsilon(\vec q)|= \hbar |\nabla_k\omega(\vec q)|=\hbar\nu_k \end{align}\]

考虑到费米狄拉克函数的形状，近似处理可以得到：

\[\begin{align} \vec{J}=\frac{e^2}{4\hbar\pi^3}\int\tau\frac{\vec{\nu}_k(\vec{\nu}_k\bullet\vec{E})}{\nu_k}dS_F \end{align}\]

转化成微观欧姆定律形式：

\[\begin{align} \vec{J}=[\frac1{4\pi^3}\frac{e^2}\hbar\int\tau\frac{\vec{\nu}_k\vec{\nu}_k}{\nu_k}dS_F]•\vec{E}\quad \sigma_{ij} = \frac1{4\pi^3}\frac{e^2}\hbar\int\tau\frac{\nu_i{\nu}_j}{|\nu_k|}dS_F \end{align}\]

考虑各向同性的立方晶系，

\[\begin{align} \sigma_{xx}=\frac1{4\pi^3}\frac{e^2}\hbar\int\tau\frac{\nu^2}{\nu_k}dS_F=\frac1{12\pi^3}\frac{e^2}\hbar\int\tau\nu_kdS_F\\ =\frac\tau{12\pi^3}\frac{e^2}{m^*}\int k_FdS_F\\ =\frac{\tau}{3\pi^2}\frac{e^2k_F^3}{m^*}\\ =\frac{ne^2\tau}{m^*} \end{align}\]

这里假设了有效质量和球形费米面，可以回到Drude模型。 研究热导和热输运，需要改变玻尔兹曼方程以引入温度和化学势参量：

\[\begin{align} \dot{\vec{r}}\cdot\frac{\partial f_0}{\partial\vec{r}}=\dot{\vec{r}}\cdot(\frac{\partial f_0}{\partial T}\nabla T+\frac{\partial f_0}{\partial\mu}\nabla\mu) \end{align}\]

利用一些tricks，非常疑惑！！！可以得到：

\[\begin{align} -\frac{\partial f_0}{\partial\varepsilon}\vec{\nu}_k\cdot[\frac{\varepsilon_k-\mu}T\nabla T+\nabla\mu]=-\frac{f_1}\tau \end{align}\]

带入微观电流表达式可以得到：

\[\begin{align} \begin{aligned}\bar{J}&=\frac e{4\pi^3}\int\tau\frac{(\vec{\nu}_k\vec{\nu}_k)\bullet\nabla\mu}{\hbar\nu_k}(-\frac{\partial f_0}{\partial\varepsilon})dSd\varepsilon\\&+\frac e{4\pi^3}\int\tau\frac{(\vec{\nu}_k\vec{\nu}_k)\bullet\nabla T}{\hbar\nu_k}(\frac{\varepsilon-\mu}T)(-\frac{\partial f_0}{\partial\varepsilon})dSd\varepsilon\end{aligned} \end{align}\]

这可以用来解释热电效应，结合之前的电场贡献，总的电流密度为：

\[\begin{align} \vec{J}=\frac{e^2}{4\pi^3}\int\tau\frac{(\vec{\nu}_k\vec{\nu}_k)\bullet(\vec{E}+\nabla\mu/e)}{\hbar\nu_k}(-\frac{\partial f_0}{\partial\varepsilon})dSd\varepsilon\\+\frac e{4\pi^3}\int\tau\frac{(\vec{\nu}_k\vec{\nu}_k)\bullet\nabla T}{\hbar\nu_k}(\frac{\varepsilon-\mu}T)(-\frac{\partial f_0}{\partial\varepsilon})dSd\varepsilon \end{align}\]

化学势梯度和电势梯度是等价的。如果用一个外电场平衡掉“电化学势”