半导体
通常半导体都是间接带隙。
\[\begin{align} \frac{1}{m^*}=\frac{1}{\hbar^2}\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d k^2}E(k) \end{align}\]一般而言，能带越平有效质量越小。而且由于抛物线无法构成连续光滑的周期函数，因此一般的电子有效质量与波矢位置有关，不为一个常数。 在石墨烯中，能带中是线性色散。色散关系为：
\[\begin{align} E = v_g\hbar |\vec k-\vec k_0| \end{align}\]更一般的有效质量定义为：
\[\begin{align} m^* = \frac{\hbar^2k}{\partial E/\partial k} \end{align}\]因此，石墨烯中电子的有效质量为：
\[\begin{align} m^* = \frac{\hbar^2k}{v_g\hbar} = \frac{\hbar}{v_g}|\vec k-\vec k_0| \end{align}\]在狄拉克点，有效质量为0.因此我们称石墨烯中的电子为massless Dirac fermion. 对于零有效质量费米子，能隙为0，但对于有质量的狄拉克费米子，能隙为$\Delta = 2m_0v_g^2$。
空穴
对于Si,Ge，其价带顶往往有两种斜率不同的能带，由于能带越平，意味着有效质量越大，因此两条价带对应不同的有效质量，命名为重空穴带和轻空穴带。重空穴带的有效质量比轻空穴带的有效质量大很多。 价带完全占满时，其上所有电子的总动量应当满足：
\[\begin{align} \sum \vec k=0 \end{align}\]移走一个传导电子后，剩余的电子总动量应当满足：
\[\begin{align} \sum \vec k=-\vec k_e \end{align}\]因此我们定义空穴：
- 动量为$\vec k_h=-\vec k_e$
- 定义占满时，价带能量为0.则空穴能量为$E_h=-E_e$
- 空穴速度为$\vec v_h=\frac{1}{\hbar}\nabla_{\vec k_h}E_h(\vec k_h)=\vec v_e$
- 有效质量为$m_h^=-m_e^$。由于价带顶一般二阶导为负，因此空穴有效质量为正。
激子
激子是电子-空穴对，可以输运能量但不能输运电荷。激子分为两种，间距在晶格常数量级的Frenkle激子和间距远大于晶格常数的Wannier激子。对于Wannier激子，可以用氢原子模型等效研究激子，用等效质量代替电子质量：
\[\begin{align} \frac1{\mu^*}=\frac1{m_C^*}+\frac1{m_{hh}^*}\\ E(n)=-\frac{\mu^*}{m_e}\cdot\frac1{\epsilon_r^2}\times\frac{13.6}{n^2}eV \end{align}\]类比氢原子，也可以定义激子的等效波尔半径：
\[\begin{align} a_0^*=\frac{\epsilon_rm_e}{\mu^*}*0.53 \end{align}\]半导体的载流子浓度
本征半导体：晶格完美的半导体，$T=0$ 时候，电子全部在价带，导带完全没有电子。金属的载流子浓度基本不随温度变换，而半导体载流子浓度强烈依赖于温度。
\[\begin{align} n\approx N_ce^{\frac{-(E_C-\mu)}{k_BT}}\quad N_C=2(\frac{k_B}{2\pi\hbar^2})^{3/2}(m_c^*T)^{3/2}\\p\approx N_Ve^{\frac{-(\mu-E_V)}{k_BT}}\quad N_V=2(\frac{k_B}{2\pi\hbar^2})^{3/2}(m_h^*T)^{3/2} \end{align}\]其乘积满足公式：
\[\begin{align} np\approx WT^3e^{\frac{-E_g}{k_BT}} \end{align}\]半导体内化学势反之也可以用载流子密度表示：
\[\begin{align} \mu=\frac12(E_C+E_V)+\frac34k_BT\ln\left(\frac{m_h}{m_c^*}\right) \end{align}\]