代数系和数系
代数系
代数系是一个集合，并具有一个或多个关系，并具有在该集合上定义的若干运算，满足一系列运算法则。
自然数
自然数用$\mathbb{N}$表示，具有性质：
- 有序性，参见集合论4.1的次序关系。
- 无限性
- 任何非空真子集都具有最小数
- 有限归纳原理
有限归纳原理
\[\begin{align} S\subseteq \mathbb{N},1\in S,if~n-1\in S\Rightarrow n\in S,then~S=\mathbb{N}\\ \end{align}\]这就是数学归纳法。
半群
和群相比，半群只需要满足运算的封闭性和结合性。
同理，如果满足交换律，则称为Abel半群或者可换半群。自然数集合
\[\begin{align} (\mathbb{N},+) \end{align}\]是一个Abel半群。
整数域，整域
显然的，我们可以得到：$(\mathbb{Z},+)$是一个Abel群，$(\mathbb{Z},\cdot)$则是一个Abel半群。
环
如果定义在集合K上有加法和乘法两种运算
\[\begin{align} (\mathbb{K},+)is~an~Abel~group\\ (\mathbb{K},\cdot)is~a~half~group\\ (\mathbb{K},+,\cdot)satisfy~distributive~law \end{align}\]则$(\mathbb{K},+,\cdot)$为一个环。而如果乘法运算额外满足交换律，则称为Abel环。
满足消去律的可换环（实方阵环不是，因为不一定满秩有逆），称为整域。
域和有理数域
由于零元（加法的单位元）不具有乘法上的逆元，所以需要对环做额外定义才能称为域。
【定义】
\[\begin{align} 1、\mathbb{K}-{0}is~not~empty\\ 2、(\mathbb{K},+,\cdot)is~a~ring\\ 3、(\mathbb{K}-{0},\cdot)is~an~Abel~group\\ \end{align}\]则称$(\mathbb{K},+,\cdot)$为域。在这个域里可以额外进行除法。
Cauchy数列和实数域
Cauchy数列
\[\begin{align} \forall \varepsilon>0,\exists q\in\mathbb{N},st\\ \forall m,n\ge q,|a_n-a_m|<\varepsilon \end{align}\]Cauchy数列必定收敛，但是在有理数域上不一定有极限。因为有理Cauchy数列的极限可以是无理数。
实数域是不可数的，与实数域双射的集合具有连续势。
复数域和代数基本定理
如果说，有理数域是对所有一次方程封闭。那么，复数域可以说是对任何阶次的方程封闭的数域。这有助于代数基本定理。
代数基本定理 任意复系数多项式都具有至少一个复根，因此具有和阶数相等的复根（包括重根的重数）。
这个定理的证明可以考虑儒歇定理。
超复数数系
由于复数域和实数域的关系可以看成：
\[\begin{align} \mathbb{C}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}={(a,b)|a\in\mathbb{R},b\in\mathbb{R} }\\ def~+~as~(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\\ def~\cdot~as~(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)\\ \end{align}\]所以可以考虑是否存在更高维度的直积创造更大的数集，并定义可以使其成为数域的两种运算。这种更大数系就是超复数系。
四元数系
【定义】
\[\begin{align} \mathbb{Q}(\mathbb{R})={x|x=a+b\hat{i}+c\hat{j}+d\hat{k} }\\ def~+~as~x_1+x_2=a_1+a_2+(b_1+b_2)\hat{i}+(c_1+c_2)\hat{j}+(d_1+d_2)\hat{k}\\ def~\cdot~as~x_1\cdot x_2=(a_1+b_1\hat{i}+c_1\hat{j}+d_1\hat{k})(a_2+b_2\hat{i}+c_2\hat{j}+d_2\hat{k})\\ \end{align}\]其中$\hat{i},\hat{j},\hat{k}$的运算定义在下列表中：
| $(i,j)=a_{i,1}a_{1,j}$ | $\hat{i}$ | $\hat{j}$ | $\hat{k}$ |
|---|---|---|---|
| $\hat{i}$ | -1 | $\hat{k}$ | $-\hat{j}$ |
| $\hat{j}$ | $-\hat{k}$ | -1 | $\hat{i}$ |
| $\hat{k}$ | $\hat{j}$ | $-\hat{i}$ | -1 |
实际上，四元数系不是数域。因为$\mathbb{Q}(\mathbb{R}-{0})$对乘法不是Abel群。这可以从下面的矩阵表示看出。
四元数的四个坐标向量可以用如下泡利矩阵表示：
\[\begin{align} E=\pmatrix{1&0\\0&1},\sigma_x=\pmatrix{0&1\\1&0},\sigma_y=\pmatrix{0&-i\\i&0},\sigma_z=\pmatrix{1&0\\0&-1} \end{align}\]四元数可以描述转动：绕方向余弦为$(\cos{\alpha},\cos{\beta},\cos{\gamma})$的轴旋转角度$\theta$，可以表示为：
\[\begin{align} \mathbb{Q}(\vec{n},\theta)=\cos{\frac{\theta}2}+\sin{\frac{\theta}2}(\cos{\alpha}\hat{i}+\cos{\beta}\hat{j}+\cos{\gamma}\hat{k}) \end{align}\]八元数系
其乘法表为：
| 1 | i | j | k | l | il | jl | kl |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| i | −1 | k | −j | il | −l | −kl | jl |
| j | −k | −1 | i | jl | kl | −l | −il |
| k | j | −i | −1 | kl | −jl | il | −l |
| l | −il | −jl | −kl | −1 | i | j | k |
| il | l | −kl | jl | −i | −1 | −k | j |
| jl | kl | l | −il | −j | k | −1 | −i |
| kl | −jl | il | l | −k | −j | i | −1 |
十六元数系
十六元数系又称Clifford代数。在量子场论中得到了很多应用，因此在物理中又称Dirac代数。物理含义是：
\[\begin{align} (\sum_{\mu=1}^4\gamma_{\mu}\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}+m)\psi(x)=0\\ (\nabla^2-\frac1{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-m^2)\psi(x)=0 \end{align}\]其中的$\gamma_{\mu}$可以抽象为十六元数。其Dirac矩阵形式为：
\[\begin{align} \gamma_1=\pmatrix{0&-i\sigma_1\\i\sigma_1&0},\gamma_2=\pmatrix{0&-i\sigma_2\\i\sigma_2&0}\\ \gamma_3=\pmatrix{0&-i\sigma_3\\i\sigma_3&0},\gamma_4=\pmatrix{E&0\\0&E} \end{align}\]向量空间
向量空间是一个定义了线性运算的代数系。其是一个建立在数域K的向量集合V。线性运算定义为：
\[\begin{align} (\mathbb{V},+)is~an~Abel~group\\ \forall a_i\in\mathbb{K},\vec{v_i}\in\mathbb{V},a\vec{v}\in\mathbb{V}~and\\ a(\vec{v_1}+\vec{v_2})=a\vec{v_1}+a\vec{v_2}\\ (a_1+a_2)\vec{v}=a_1\vec{v}+a_2\vec{v}\\ (a_1a_2)\vec{v}=a_1(a_2\vec{v})\\ 1\cdot\vec{v}=\vec{v} \end{align}\]运算是线性的代数结构，都是一个向量空间。比如之前的实数域，复数域，到线性微分方程的解，均具有线性空间的概念。
域上的代数
在向量空间的基础上，定义代数： 【定义】 在向量空间中的向量集合V上额外定义乘法，使之成环，并且该乘法满足结合律，则称此时的运算体系为结合代数。
之前所有的数系，都是K在K上的代数。
Lie代数
当代数满足下述规则：
\[\begin{align} A\times A=0,(A+B)\times C=A\times B+A\times C\\ C\times (A+B)=C\times A+C\times B\\ (A\times B)\times C+(B\times C)\times A+(C\times A)\times B=0 \end{align}\]则称其为李代数。 李代数的例子有：
一般线性群
$Gl(n,\mathbb{C})$ 中定义矩阵乘法：
\[\begin{align} A\circ B=[A,B]=AB-BA \end{align}\]显然是一个李代数。
Poisson括号
在正则变量p,q描述中，函数u,v的泊松括号定义为：
\[\begin{align} [u,v]=\sum_{i=1}^n(\frac{\partial u}{\partial q_i}\frac{\partial v}{\partial p_i}-\frac{\partial v}{\partial q_i}\frac{\partial u}{\partial p_i} ) \end{align}\]同上，这也是一个李代数。
谐振子能级
泊松括号联系了经典力学和量子力学，但从经典力学到量子力学的过程中，需要将泊松括号乘以$i\hbar$，各种物理量对应算符。
一维谐振子的哈密顿算符应当写为：
\[\begin{align} \hat{H}=\frac12(\hat{p}^2+\hat{q}^2)\\ \end{align}\]构造新的算符：
\[\begin{align} \hat{a}^+=\frac{1}{\sqrt{2\hbar}}(\hat{p}+i\hat{q})\\ \hat{a}^-=\frac{1}{\sqrt{2\hbar}}(\hat{p}-i\hat{q})\\ \end{align}\]数学处理：
\[\begin{align} [\hat{a}^+,\hat{a}^-]=\frac1{2\hbar}(i[\hat{q},\hat{p}]-i[\hat{p},\hat{q}])=-1\\ \hat{a}^+\hat{a}^-=\frac i{2\hbar}([\hat{q},\hat{p}]-[\hat{p},\hat{q}]), \hat{a}^-\hat{a}^+=\frac i{2\hbar}([\hat{p},\hat{q}]-[\hat{q},\hat{p}])\\ \therefore [\hat{a}^+,\hat{a}^-]=\frac12(\hat{a}^+\hat{a}^--\hat{a}^-\hat{a}^+)\\ \end{align}\]用新算符反表示旧算符：
\[\begin{align} \hat{p}=\frac{\sqrt{2\hbar}}2(\hat{a}^++\hat{a}^-)\\ \hat{q}=\frac{\sqrt{2\hbar}}{2i}(\hat{a}^+-\hat{a}^-)\\ \end{align}\]则改写哈密顿算符为：
\[\begin{align} \hat{H}=\frac12(\frac12 \hbar(\hat{a}^++\hat{a}^-)^2-\frac12\hbar(\hat{a}^+-\hat{a}^-)^2)\\ =\frac{\hbar}2([\hat{a}^+,\hat{a}^-]+[\hat{a}^-,\hat{a}^+])\\ =\hbar(\hat{a}^+\hat{a}^-+\frac12) \end{align}\]由于：
\[\begin{align} [\hat{a}^+,\hat{a}^-]=-1,[\hat{H},\hat{a}^-]=\hbar[\hat{a}^+,\hat{a}^-]\hat{a}^-=-\hbar\hat{a}^-\\ [\hat{H},\hat{a}^+]=\hbar\hat{a}^+[\hat{a}^-,\hat{a}^+]=\hbar\hat{a}^+ \end{align}\]就有：
\[\begin{align} [[\hat{H},\hat{a}^+],\hat{a}^-]+[[\hat{a}^+,\hat{a}^-],\hat{H}]+[[\hat{a}^-,\hat{H}],\hat{a}^+]=0 \end{align}\]所以构成一个李代数。
要计算能级，即求算符的本征值。由于$\hat{a}^+\hat{a}^-$为厄米算符，所以可以其本征值为自然数。进而得到了哈密顿量的本征值——也就是能量的分立值：
\[\begin{align} E_n=(n+\frac12)\hbar,n\in\mathbb{N} \end{align}\]以上讨论，均假设了$m=\omega=1$。